RESOLDRE UN SISTEMA D'EQUACIONS AMB GEOGEBRA

GeoGebra és una eina molt potent, gratuïta i programada en HTML5, fet que la fa compatible amb tots els navegadors d'última generació.

Entre moltes altres funcions, GeoGebra permet resoldre sistemes d'equacions lineals.

Has d'escriure l'equació corresponent a cada grup paràmetres i omplir la taula corresponent. Selecciona els valors de cada taula i crea una llista de punts per cadascuna.

Un cop t'hagis assegurat que els punts estan a sobre de la recta corresponent troba el punt intersecció de les dues rectes i escriu el seu nom al costat de la cel·la Solució.

Desenvolupament de la pràctica:

Volem resoldre sistemes de dues equacions lineals amb dues incògnites.

1. Escriu {x+2y = 4 , 3x - y = 5} en la casella d'entrada i prem la tecla de retorn del teclat.
2. Clica sobre el cercle blanc que hi ha sota el número de la línia 1 per visualitzar el gràfic de les dues funcions.
3. Clica la icona x= per obtenir la solució del sistema.
4. Clica sobre el cercle blanc que hi ha sota el número de la línia 2 per visualitzar el punt solució del sistema.
5. Repeteix el procés per les equacions x+2y = 4 i x+2y = 8. Observa com no apareix cap solució. Fixa't en la representació gràfica i raona per què el sistema no té solució, és a dir, és incompatible.
6. Prova ara amb x+2y = 4 i 2x+4y = 8. Observa com a la solució gràfica les dues rectes són coincidents. Saps interpretar la solució numèrica que et dóna la calculadora?

Utilitza aquesta eina per resoldre sistemes de dues equacions, no cal que siguin lineals, i poder comprovar els teus exercicis.

GeoGebra et mostra en una mateixa finestra les solucions analítica i gràfica.

REPRESENTACIÓ GRÀFICA D'UN SISTEMA D'EQUACIONS LINEALS.

Per a resoldre un sistema d'equacions gràficament, primerament hem de representar gràficament les dues equacions i el punt d'intersecció en el que es creuen les dues rectes serà la solució del sistema. El punt on es tallen les rectes es la solució comú de les dues equacions.

Per a representar les equacions del sistema, primerament aïllem una de les incògnites i donem valors a l'altra. Si les solucions s'interpreten com punts del planol, aleshores la equació se representa mitjançant una recta i les seues solucions són els punts de aquesta recta. Una vegada que hem representat gràficament les dues rectes, el punt on es tallen es la solució del sistema. En el punt de intersecció les dues rectes tenen els mateixos valors per a la x i per a la y.

Com ja hem vist abans, una equació lineal té infinites solucions i aquestes es poden representar com una recta. En un sistema d'equacions tindrem dues rectes, una per cada equació, i la solució del sistema serà el punt que pertanyi a ambdues rectes, és a dir, el punt d'intersecció d'aquestes.

APLICACIONS PRÀCTIQUES: RESOLUCIÓ DE PROBLEMES.

Per resoldre un problema mitjançant un sistema d'equacions cal traduir al llenguatge algebraic l'enunciat del problema i després resoldre el sistema plantejat.

1. Llegir amb atenció l'enunciat. 
2. Nombrar les incògnites. 
3. Expressar mitjançant equacions les relacions existents. 
4. Resoldre el sistema d'equacions. 
5. Interpretar la solució. 

En un veritable problema , a la dificultat pròpia dels exercicis ja comentada, se n’hi afegeix un altra de completament diferent: per poder trobar la solució primer cal plantejar-lo , es a dir, cal veure com a partir de les dades que tenim, establim un raonament que ens porti a la solució, fet que en el cas d’un problema no és evident .Dit d’un altra manera, si bé en un problema poden estar perfectament clars els continguts matemàtics que són rellevants per la seva resolució, pot ser que aquesta no sigui gens evident. La diferència entre exercici i problema no depèn doncs exclusivament del grau de dificultat , sinó de que en un problema hi ha una dificultat addicional qualitativament diferent de la pròpia d’un exercici.

MÈTODES DE RESOLUCIÓ IV: QUIN MÈTODE ÉS EL CONVENIENT?

Tots els sistemes es poden resoldre per els tres mètodes, però hi ha sistemes en els que un mètode es molt més senzill d'aplicar que un altre. Per a elegir un mètode cal tindre en compte que:

• El mètode de substitució es especialment útil quan una de les incògnites té el coeficient 1 o -1 en alguna de les equacions.
• El mètode de igualació és paregut al de substitució i es pot utilitzar en les mateixes circumstàncies que aquest.
• El mètode de reducció és molt útil quan una incògnita té el mateix coeficient en les dues equacions o els seus coeficients són un múltiple de l'altre.

Recorda que també es pot resoldre un sistema gràficament. Que cada equació correspon a una recta i que la solució, en cas de que hi haja, és el punt de cort de les dues rectes. Recorda que també pots fer ús de la eina geogebra.

Quan es tracta de resoldre un sistema, normalment es fa algebraicament per el mètode més apropiat: substitució, igualació o reducció.

MÈTODES DE RESOLUCIÓ III: IGUALACIÓ

El mètode de igualació es especialment útil quan una de les incògnites té el coeficient 1 o -1 en alguna de les equacions.

Consisteix en aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions i igualar les dues expressions resultants. 

1. Aïllar la mateixa incògnita en les dues equacions. 
2. Igualar les expressions per a obtenir una equació amb una sola incògnita. 
3. Resoldre aquesta equació. 
4. Substituir el valor obtingut en qualsevol de les dues expressions anteriors. 
5. Obtindre la solució del sistema. 

Fixeu-vos en l'exemple, trieu en primer lloc la incògnita que voleu aïllar a les dues equacions.

Exemple:

3x+2y=18

x-3y=-5

Primerament aïllem la x en les dues equacions:

x=(18-2y)/3     x=3y-5

Ara igualem les dues expressions obtingudes i resoldrem:

(18-2y)/3=3y-5

18-2y=9y-15

33=11y

y=3

Per últim substituïm el valor de la y en qualsevol de les dues expressions anteriors:

x=3(3)-5=4

Solució: x=4, y=3

Si volem comprovar si els resultats són els correctes només haurem de substituir en qualsevol de les equacions originals les incògnites pels valor que hem obtingut i comprovar que la igualtat es compleix.

MÈTODES DE RESOLUCIÓ II: SUBSTITUCIÓ

El mètode de substitució es especialment útil quan una de les incògnites té el coeficient 1 o -1 en alguna de les equacions.

Aquest mètode consisteix en aïllar una incògnita de les equacions i substituir-la en l'altra.

1.  S'aïlla una incògnita en una de les equacions.
2.  Substituïm l'expressió d'aquesta incògnita en l'altra equació, obtenint una equació amb una incògnita només.
3.  Resoldre la equació.
4.  Substituir el valor obtingut en la equació en la que apareixia la incògnita aïllada.
5. Obtindre la solució del sistema.

Exemple:

3x+2y=18

x-3y=-5

Primerament aïllem la x en la segona equació:

x=3y-5

Ara substituïm en l'altra equació:

3(3y-5)+2y=18

Resoldrem l'equació:

9y-15+2y=18

11y=33

y=3

Ara substituïm el valor de la y en la equació en la que apareixia la incògnita aïllada.

x=3(3)-5=4

Solució: x=4, y=3

Si volem comprovar si els resultats són els correctes només haurem de substituir en qualsevol de les equacions originals les incògnites pels valor que hem obtingut i comprovar que la igualtat es compleix.

MÈTODES DE RESOLUCIÓ I: REDUCCIÓ

El mètode de reducció és molt útil quan una incògnita té el mateix coeficient en les dues equacions o els seus coeficients són un múltiple de l'altre.

Aquest mètode consisteix en preparar les dues equacions perquè una de les incògnites tinga el mateix coeficient en les dues, però amb signe contrari. Sumand les equacions resultants s'obteniu una equació amb una incògnita només. 

1. Preparar les dues equacions multiplicant pels nombres que calga. 
2. Sumar-les i desapareixerà una de les incògnites. 
3. Resoldre la equació resultant. 
4. Substituir el valor obtingut en una de les equacions inicials i resoldre. 
5. Obtindre la solució del sistema. 

Exemple:

3x+2y=7     multipliquem per 4     12x+8y=28

4x-3y=15    multipliquem per -3   -12x+9y=-45

A continuació sumem membre a membre les dues equacions resultants i obtenim:

17y=-17

y=-1

Ara substituïm el valor obtingut de y en una de les equacions inicials i resoldrem:  

3x+2(-1)=7

3x-2=7

x=9/3=3

Solució: x=3 i y=-1

Si volem comprovar si els resultats són els correctes només haurem de substituir en qualsevol de les equacions originals les incògnites pels valor que hem obtingut i comprovar que la igualtat es compleix.

NOMBRE DE SOLUCIONS D'UN SISTEMA D'EQUACIONS

Un sistema d'equacions, segon el nombre de solucions que tinga s'anomena:

• Incompatible: És un sistema que no té cap solució. Gràficament són dues rectes paral·leles. Són sistemes on les equacions diuen coses contradictòries.

       Per exemple:

2x+3y=15

2x+3y=9 

Aquest sistema no té cap solució. No existeix cap solució que compleisca al mateix temps les dues equacions. Per tant no pot ser, i es diu que es incompatible.

• Indeterminat: És un sistema que té infinites solucions. Gràficament són dues rectes coincidents, tots els seus punts són comuns. Són sistemes on les equacions diuen el mateix, es a dir, són dos vegades la mateixa equació.

       Per exemple:

3x+4y=48

3x+4y=48

Aquest sistema té infinites solucions. La x i la y poden prendre infinites parells de valors que complisquen les dues equacions. No té una única solució, per tant es diu que és indeterminat.

• Determinat: És un sistema que té una única solució. Gràficament són dues rectes que es tallen en un punt. 

       Per exemple:

x+y=6

x-y=1

Aquest sistema només té una solució que compleix les dues equacions al mateix temps. Per això es diu que és un sistema determintat.

SISTEMES EQUIVALENTS

Dues sistemes d'equacions son equivalents quan tenen la mateixa solució.

Per exemple els dos sistemes següents són equivalents:

x = 1+y
y = x/2

x-y = 1
2y = x

Perquè els dos tenen com a solució el parell x=2 i y=1.

Cal advertir que dos sistemes equivalents no tenen per què tenir el mateix nombre d'equacions.

Criteris d'equivalència:

1. Si als dos membres d'una equació d'un sistema se'ls suma o se'ls resta una mateixa expressió, el sistema resultant és equivalent. 
2. Si multipliquem o dividim els dos membres de les equacions d'un sistema per un nombre distint de zero, el sistema resultant és equivalent. 
3. Si sumem o restem a una equació d'un sistema una altra equació del mateix sistema, el sistema resultant és equivalent al donat. 
4. Si en un sistema es substitueix una equació per una altra que resultes de sumar les dues equacions del sistema prèviament multiplicades o dividides per nombres no nuls, resulta un altre sistema equivalent al primer. 
5. Si en un sistema es canvia el ordre de les equacions o el ordre de les incògnites, resulta un altre sistema equivalent.

SISTEMA D'EQUACIONS

En matemàtiques, un sistema d'equacions és un conjunt de dues o més equacions amb diverses incògnites que conformen un problema matemàtic consistent en trobar les incògnites que satisfan les equacions. En un sistema d'equacions algebraiques les incògnites són valors numèrics.

Un sistema d'equacions està format per dues equacions, en les quals les dues incògnites que apareixen represente els mateixos valors, i de les que es busca una solució comuna.

Quan dues equacions formen un sistema, les posem de la següent manera: 

ax + by = c 

a'x + b'y = c'

On, a, b, a', b', s'anomenen coeficients i, c i c' s'anomenen termes independents. 

S'anomena solució d'un sistema de equacions a la solució comuna a les dues equacions. 

Si les dues equacions del sistema són lineals, l'anomenarem sistema lineal. Quan alguna de les equacions del sistema no es lineal, s'anomena sistema de equacions no lineal. Un exemple de sistemes no lineals són los sistemes quadràtics, formats per equacions quadràtiques (de segon grau).